Ejercicio: tiempo hasta desarrollar cáncer de mama

Contexto del estudio

Se sigue una cohorte de 100 mujeres durante 10 años para evaluar el tiempo hasta desarrollar cáncer de mama.

• Evento: desarrollar cáncer de mama.
• Censura: pérdida de seguimiento, muerte por otra causa, retiro del estudio o finalización del seguimiento sin cáncer.

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Paso 1. Crear la estructura de la tabla

Primero se construye la tabla vacía.

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

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Paso 2. Llenar la columna “Año”

La primera columna representa el tiempo de seguimiento.

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

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Paso 3. Llenar “desarrollan cáncer” y “censurados”

Estos son los datos observados del estudio.

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1		2	1
2		3	2
3		4	2
4		5	3
5		4	4
6		3	3
7		2	5
8		2	4
9		1	6
10		0	44

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Paso 4. Calcular “en riesgo al inicio”

Fórmula

$$N_i = N_{i-1} – d_{i-1} – c_{i-1}$$Ni​=Ni − 1​−di − 1​−ci−1​

Donde:

• $N_i$​: personas en riesgo al inicio del año
• $d_{i-1}$​: casos de cáncer del año previo
• $c_{i-1}$​: censurados del año previo

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Año 1

La cohorte inicia con:$$N_1 = 100$$N1​=100

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Año 2

$$N_2 = 100 – 2 – 1$$N2​=100−2−1$$N_2 = 97$$N2​=97

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Año 3

$$N_3 = 97 – 3 – 2$$N3​=97−3−2$$N_3 = 92$$N3​=92

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Tabla actualizada

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1	100	2	1
2	97	3	2
3	92	4	2
4	86	5	3
5	78	4	4
6	70	3	3
7	64	2	5
8	57	2	4
9	51	1	6
10	44	0	44

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Paso 5. Calcular “en riesgo efectivo”

En tabla actuarial se asume que las censuras ocurren, en promedio, a mitad del intervalo.

Fórmula

$$N’_i = N_i – \frac{c_i}{2}$$Ni′​=Ni​−2ci​​

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Ejemplo año 1

$$N’_1 = 100 – \frac{1}{2}$$N1′​=100−21​$$N’_1 = 99.5$$N1′​=99.5

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Ejemplo año 2

$$N’_2 = 97 – \frac{2}{2}$$N2′​=97−22​$$N’_2 = 96$$N2′​=96

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Ejemplo año 3

$$N’_3 = 92 – \frac{2}{2}$$N3′​=92−22​ $$N’_3 = 92 – 1$$N3′​=92−1 $$N’_3 = 91$$N3′​=91

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Ejemplo año 4

$$N’_4 = 86 – \frac{3}{2}$$N4′​=86−23​ $$N’_4 = 86 – 1.5$$N4′​=86−1.5 $$N’_4 = 84.5$$N4′​=84.5

Tabla actualizada

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1	100	2	1	99.5
2	97	3	2	96.0
3	92	4	2	91.0
4	86	5	3	84.5
5	78	4	4	76.0
6	70	3	3	68.5
7	64	2	5	61.5
8	57	2	4	55.0
9	51	1	6	48.0
10	44	0	44	22.0

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Paso 6. Calcular probabilidad de desarrollar cáncer

Fórmula

$$q_i = \frac{d_i}{N’_i}$$qi​=Ni′​di​​

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Ejemplo año 1

Datos:

• Casos de cáncer = 2
• En riesgo efectivo = 99.5

Aplicamos:$$q_1 = \frac{2}{99.5}$$q1​=99.52​ $$q_1 = 0.0201$$q1​=0.0201

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Ejemplo año 2

Datos:

• Casos de cáncer = 3
• En riesgo efectivo = 96

Aplicamos:$$q_2 = \frac{3}{96}$$q2​=963​ $$q_2 = 0.0313$$q2​=0.0313

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Ejemplo año 3

Datos:

• Casos de cáncer = 4
• En riesgo efectivo = 91

Aplicamos:$$q_3 = \frac{4}{91}$$q3​=914​ $$q_3 = 0.0440$$q3​=0.0440

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Ejemplo año 4

Datos:

• Casos de cáncer = 5
• En riesgo efectivo = 84.5

Aplicamos:$$q_4 = \frac{5}{84.5}$$q4​=84.55​ $$q_4 = 0.0592$$q4​=0.0592

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Tabla actualizada

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1	100	2	1	99.5	0.0201
2	97	3	2	96.0	0.0313
3	92	4	2	91.0	0.0440
4	86	5	3	84.5	0.0592
5	78	4	4	76.0	0.0526
6	70	3	3	68.5	0.0438
7	64	2	5	61.5	0.0325
8	57	2	4	55.0	0.0364
9	51	1	6	48.0	0.0208
10	44	0	44	22.0	0.0000

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Paso 7. Calcular probabilidad libre de cáncer

Fórmula

$$p_i = 1 – q_i$$pi​=1−qi​

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Ejemplo año 1

Datos:$$q_1 = 0.0201$$q1​=0.0201

Aplicamos:$$p_1 = 1 – 0.0201$$p1​=1−0.0201 $$p_1 = 0.9799$$p1​=0.9799

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Ejemplo año 2

Datos:$$q_2 = 0.0313$$q2​=0.0313

Aplicamos:$$p_2 = 1 – 0.0313$$p2​=1−0.0313 $$p_2 = 0.9687$$p2​=0.9687

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Ejemplo año 3

Datos:$$q_3 = 0.0440$$q3​=0.0440

Aplicamos:$$p_3 = 1 – 0.0440$$p3​=1−0.0440 $$p_3 = 0.9560$$p3​=0.9560

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Ejemplo año 4

Datos:$$q_4 = 0.0592$$q4​=0.0592

Aplicamos:$$p_4 = 1 – 0.0592$$p4​=1−0.0592 $$p_4 = 0.9408$$p4​=0.9408

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Tabla actualizada

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1	100	2	1	99.5	0.0201	0.9799
2	97	3	2	96.0	0.0313	0.9688
3	92	4	2	91.0	0.0440	0.9560
4	86	5	3	84.5	0.0592	0.9408
5	78	4	4	76.0	0.0526	0.9474
6	70	3	3	68.5	0.0438	0.9562
7	64	2	5	61.5	0.0325	0.9675
8	57	2	4	55.0	0.0364	0.9636
9	51	1	6	48.0	0.0208	0.9792
10	44	0	44	22.0	0.0000	1.0000

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Paso 8. Calcular sobrevida acumulada

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Ejemplo año 1

Datos:$$p_1 = 0.9799$$p1​=0.9799

Aplicamos:$$S_1 = 0.9799$$S1​=0.9799

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Ejemplo año 2

Datos:$$S_1 = 0.9799$$S1​=0.9799 $$p_2 = 0.9687$$p2​=0.9687

Aplicamos:$$S_2 = 0.9799 \times 0.9687$$S2​=0.9799×0.9687 $$S_2 = 0.9492$$S2​=0.9492

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Ejemplo año 3

Datos:$$S_2 = 0.9492$$S2​=0.9492 $$p_3 = 0.9560$$p3​=0.9560

Aplicamos:$$S_3 = 0.9492 \times 0.9560$$S3​=0.9492×0.9560 $$S_3 = 0.9074$$S3​=0.9074

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Ejemplo año 4

Datos:$$S_3 = 0.9074$$S3​=0.9074 $$p_4 = 0.9408$$p4​=0.9408

Aplicamos:$$S_4 = 0.9074 \times 0.9408$$S4​=0.9074×0.9408 $$S_4 = 0.8537$$S4​=0.8537

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Tabla final

Año	En riesgo al inicio	Desarrollan cáncer	Censurados	En riesgo efectivo	Probabilidad de cáncer (q)	Probabilidad libre de cáncer (p)	Sobrevida acumulada
1	100	2	1	99.5	0.0201	0.9799	0.9799
2	97	3	2	96.0	0.0313	0.9688	0.9493
3	92	4	2	91.0	0.0440	0.9560	0.9075
4	86	5	3	84.5	0.0592	0.9408	0.8537
5	78	4	4	76.0	0.0526	0.9474	0.8088
6	70	3	3	68.5	0.0438	0.9562	0.7734
7	64	2	5	61.5	0.0325	0.9675	0.7483
8	57	2	4	55.0	0.0364	0.9636	0.7211
9	51	1	6	48.0	0.0208	0.9792	0.7061
10	44	0	44	22.0	0.0000	1.0000	0.7061